2.2 Задачи

Треугольник и его элементы

Периметр. Найдите периметр треугольника со сторонами указанной длины.

1. $5$, $7$, $9$

2. $3$, $4$, $5$

3. $8$, $10$, $12$

4. $6$, $6$, $6$

5. $4{,}5$, $5{,}5$, $6$

Обозначения сторон. В треугольнике $ABC$ ответьте на вопрос.

6. В треугольнике $ABC$ какая сторона противолежит углу $A$?

7. В треугольнике $ABC$ какая сторона противолежит углу $B$?

8. В треугольнике $ABC$ какая сторона противолежит углу $C$?

9. В треугольнике $ABC$ какие стороны прилежат к углу $A$?

10. В треугольнике $ABC$ какие стороны прилежат к углу $B$?

Виды треугольников

Виды по сторонам. Определите вид треугольника по сторонам.

11. $5$, $5$, $7$

12. $4$, $6$, $8$

13. $7$, $7$, $7$

14. $3$, $8$, $8$

15. $9$, $9$, $9$

Виды по углам. Определите вид треугольника по углам.

16. $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$

17. $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$

18. $30^\circ$, $40^\circ$, $110^\circ$

19. $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$

20. $100^\circ$, $40^\circ$, $40^\circ$

Катеты и гипотенуза. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$. Ответьте на вопрос.

21. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ какая сторона является гипотенузой?

22. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ какие стороны являются катетами?

23. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ какая сторона лежит против прямого угла?

24. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ какая сторона лежит против угла $A$?

25. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ какая сторона лежит против угла $B$?

Углы треугольника

Сумма углов. Найдите третий угол треугольника, если два угла равны указанным значениям.

26. $50^\circ$ и $60^\circ$

27. $90^\circ$ и $35^\circ$

28. $110^\circ$ и $25^\circ$

29. $72^\circ$ и $48^\circ$

30. $90^\circ$ и $45^\circ$

Острые углы прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен указанному значению. Найдите второй острый угол.

31. $30^\circ$

32. $45^\circ$

33. $20^\circ$

34. $55^\circ$

35. $38^\circ$

Внешний угол. Найдите указанный угол.

36. В треугольнике $ABC$ углы $A$ и $B$ равны $50^\circ$ и $60^\circ$ соответственно. Найдите внешний угол при вершине $C$.

37. В треугольнике $ABC$ углы $A$ и $B$ равны $70^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. Найдите внешний угол при вершине $C$.

38. В треугольнике $ABC$ углы $A$ и $B$ равны $40^\circ$ и $80^\circ$ соответственно. Найдите внешний угол при вершине $C$.

39. Внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$, угол $A$ равен $50^\circ$. Найдите угол $B$.

40. Внешний угол при вершине $C$ равен $135^\circ$, угол $A$ равен $65^\circ$. Найдите угол $B$.

Стороны и углы

Соотношение сторон и углов. Ответьте на вопрос.

41. В треугольнике $ABC$ $\angle A=30^\circ$, $\angle B=60^\circ$, $\angle C=90^\circ$. Какая сторона наибольшая?

42. В треугольнике $ABC$ $\angle A=50^\circ$, $\angle B=60^\circ$, $\angle C=70^\circ$. Какая сторона наименьшая?

43. В треугольнике $ABC$ стороны $a=5$, $b=7$, $c=9$. Какой угол наибольший?

44. В треугольнике $ABC$ стороны $a=6$, $b=6$, $c=8$. Какие углы равны?

45. В треугольнике $ABC$ стороны $a=3$, $b=4$, $c=5$. Какой угол наименьший?

Неравенство треугольника. Может ли существовать треугольник со сторонами указанной длины?

46. $3$, $4$, $5$

47. $2$, $3$, $6$

48. $5$, $5$, $9$

49. $1$, $2$, $3$

50. $6$, $8$, $10$

Третья сторона. Две стороны треугольника равны указанным значениям. В каких пределах может находиться третья сторона?

51. Две стороны равны $5$ и $8$, третья сторона $c$

52. Две стороны равны $4$ и $7$, третья сторона $c$

53. Две стороны равны $6$ и $10$, третья сторона $c$

54. Две стороны равны $2$ и $9$, третья сторона $c$

55. Две стороны равны $3$ и $3$, третья сторона $c$

Признаки равенства треугольников

Признаки равенства. Равны ли треугольники? Если да, укажите признак.

56. $AB=A'B'$, $AC=A'C'$, $\angle A=\angle A'$

57. $AB=A'B'$, $\angle A=\angle A'$, $\angle B=\angle B'$

58. $AB=A'B'$, $BC=B'C'$, $AC=A'C'$

59. $AB=A'B'$, $BC=B'C'$, $\angle A=\angle A'$

60. $\angle A=\angle A'$, $\angle B=\angle B'$, $\angle C=\angle C'$

Задачи по чертежам

Углы треугольника. На рисунке углы треугольника обозначены $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Найдите углы треугольника и определите его вид.

61. $\alpha:\beta:\gamma=1:2:3$. Найдите углы треугольника и определите его вид.

62. $\alpha=2x$, $\beta=3x$, $\gamma=4x$. Найдите углы треугольника и определите его вид.

63. $\alpha=x$, $\beta=2x$, $\gamma=x+40^\circ$. Найдите углы треугольника и определите его вид.

64. $\alpha-\beta=20^\circ$, $\gamma=60^\circ$. Найдите углы треугольника и определите его вид.

65. $\alpha:\beta=2:3$, $\gamma=100^\circ$. Найдите углы треугольника и определите его вид.

Внешний угол на чертеже. На рисунке угол $\varphi$ является внешним углом при вершине $B$. Найдите указанные углы.

66. $\varphi=120^\circ$, $\alpha=50^\circ$. Найдите $\gamma$ и $\beta$.

67. $\varphi=135^\circ$, $\alpha=65^\circ$. Найдите $\gamma$ и $\beta$.

68. $\alpha=40^\circ$, $\gamma=70^\circ$. Найдите $\varphi$ и $\beta$.

69. $\varphi=110^\circ$, $\gamma=45^\circ$. Найдите $\alpha$ и $\beta$.

70. $\alpha:\gamma=2:3$, $\varphi=120^\circ$. Найдите $\alpha$, $\gamma$ и $\beta$.

Признаки равенства по чертежу. Одинаковые цифры отмечают равные стороны, одинаковые греческие буквы: равные углы. Определите, по какому признаку равны треугольники, или объясните, почему признака недостаточно.

71. По рисунку a) определите признак равенства треугольников.

72. По рисунку b) определите признак равенства треугольников.

73. По рисунку c) определите признак равенства треугольников.

74. По рисунку d) определите признак равенства треугольников.

75. По рисунку e) определите признак равенства треугольников.