1.6 Логарифмы

Логарифм: просто показатель степени

Вопрос «в какую степень возвести 2, чтобы получить 8?» имеет ответ: в третью. Это и есть логарифм:

$$\log_2 8 = 3$$

Читается: «логарифм восьми по основанию два равен трём». Число внизу: основание (что возводим), число рядом: аргумент (что хотим получить), ответ: степень.

Общее правило, оно же определение:

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

Ограничения: основание $a\gt0$ и $a\ne1$ (степени с такими основаниями мы не рассматриваем), аргумент $b\gt0$ (степень положительного числа всегда положительна).

Примеры:

• $\log_3 9 = 2$, потому что $3^2=9$;
• $\log_2\dfrac{1}{8}=-3$, потому что $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$;
• $\log_5 1 = 0$, потому что $5^0=1$.

Основное тождество

Если взять основание и возвести его в степень-логарифм: вернётся аргумент:

$$a^{\log_a b} = b$$

Пример: $5^{\log_5 7}=7$.

Значения, которые стоит помнить

$$\begin{aligned} &\log_a 1=0\\ &\log_a a=1\\ &\log_a a^k=k \end{aligned}$$

Смысл простой: логарифм единицы: ноль, логарифм основания: единица, логарифм степени основания: её показатель.

Свойства логарифмов

Логарифм «переваривает» умножение в сложение, а деление: в вычитание. Для $x\gt0$, $y\gt0$:

$$\begin{aligned} &\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\\ &\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \end{aligned}$$

Степень «спускается» множителем:

$$\log_a x^p=p\log_a x$$

Примеры: $\log_2(4\cdot8)=\log_2 4+\log_2 8=2+3=5$; $\;\log_2 8^2=2\log_2 8=6$.

Если в степени стоит основание:

$$\log_{a^p}x=\dfrac{1}{p}\log_a x$$

Пример: $\log_8 2=\log_{2^3}2=\dfrac{1}{3}\log_2 2=\dfrac{1}{3}$.

Переход к другому основанию

Любой логарифм можно пересчитать через другое основание:

$$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$$

Частный случай (поменять основание и аргумент местами):

$$\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$$

Пример: $\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}$.

Десятичный и натуральный логарифмы

• Десятичный: по основанию 10, его пишут без основания: $\lg x=\log_{10}x$. Пример: $\lg1000=3$.
• Натуральный: по основанию $e$ (особое число, $e\approx2{,}718$): $\ln x=\log_e x$. Пример: $\ln e^2=2$.

Как логарифм себя ведёт

При основании больше 1: чем больше аргумент, тем больше логарифм: из $x\lt y$ следует $\log_a x\lt\log_a y$.

При основании между 0 и 1: наоборот: чем больше аргумент, тем меньше логарифм.

Отсюда главный факт для уравнений: если $\log_a x=\log_a y$, то $x=y$ (при допустимом основании).