1.2 Модуль числа

Модуль: «число без знака»

Модуль числа: его величина, если отбросить минус. Пишут так: $|a|$ (вертикальные палочки с двух сторон).

$|5|=5$ : у положительного числа модуль: оно само;
$|-5|=5$ : у отрицательного отбрасываем минус;
$|0|=0$ .

Короткой формулой:

|a|=\begin{cases} a, & \text{если } a\ge0,\\ -a, & \text{если } a\lt0. \end{cases}

Главное: модуль: расстояние

Ключевая идея

$|a|$ : расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой. А $|a-b|$ : расстояние между точками $a$ и $b$ .

Из этого сразу видно, почему $|-5|=|5|$ : точки $-5$ и $5$ находятся от нуля на одинаковом расстоянии 5. И почему модуль никогда не бывает отрицательным: расстояние не бывает меньше нуля.

Расстояние между числами 3 и 8 равно $|3-8|=|-5|=5$ : и неважно, в каком порядке вычитать: $|8-3|=5$ .

Как с модулем работают в расчётах

$|-a|=|a|$ : противоположные числа имеют одинаковый модуль;
$|ab|=|a|\cdot|b|$ : модуль произведения равен произведению модулей;
$\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ : то же с частным;
$|a|^2=a^2$ : квадрат «съедает» модуль: $|-3|^2=(-3)^2=9$ .

Полезное неравенство

$|a+b|\le|a|+|b|$ . Модуль суммы не больше суммы модулей: как в треугольнике: кратчайший путь: прямой. Равенство, когда числа одного знака.

Раскрытие модуля

«Раскрыть модуль»: записать выражение без палочек. Правило одно: смотрим на знак того, что внутри.

если внутри неотрицательное: палочки просто убираем: $|x|=x$ при $x\ge0$ ;
если внутри отрицательное: убираем палочки и ставим минус: $|x|=-x$ при $x\lt0$ .

Запись $|x|\lt3$ можно прочитать как «расстояние от $x$ до нуля меньше 3»: значит, $x$ лежит строго между $-3$ и $3$ : $-3\lt x\lt3$ . Такой перевод «модуль ↔ расстояние»: главный приём во всех задачах с модулем.