1.1 Числа, дроби, проценты

Какие бывают числа

Проще всего представить так: есть несколько «сортов» чисел, и каждый следующий сорт шире предыдущего.

• Натуральные: числа для счёта: $1, 2, 3, 4, \ldots$ Обозначают $\mathbb{N}$.
• Целые: натуральные, к ним добавляются ноль и отрицательные: $\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$ Обозначают $\mathbb{Z}$.
• Рациональные: все дроби вида $\dfrac{m}{n}$, где сверху целое число, снизу натуральное. Обозначают $\mathbb{Q}$.
• Иррациональные: числа, которые дробью записать нельзя: $\sqrt{2}$, $\pi$. Это бесконечные непериодические десятичные дроби.
• Действительные: всё вместе. Обозначают $\mathbb{R}$.

Цепочка вложений: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$: каждое множество лежит внутри следующего.

Обыкновенные дроби

В дроби $\dfrac{m}{n}$ верхнее число: числитель, нижнее: знаменатель: на сколько равных частей делим. $\dfrac{3}{5}$: взяли 3 части из 5.

Как действовать с дробями:

• сложить/вычесть можно только дроби с одинаковыми знаменателями: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$: сначала приводим к общему знаменателю;
• умножить: верх на верх, низ на низ: $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\cdot3}{3\cdot4}=\dfrac{1}{2}$ (можно сокращать «крест-накрест»);
• разделить: умножить на перевёрнутую дробь: $\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{6}$.

Десятичные дроби

Это та же дробь, записанная через запятую: $0{,}75=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$. Перевести обыкновенную дробь в десятичную: разделить верх на низ в столбик. Не всякая дробь переводится до конца: $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$: хвост бесконечный.

Считаем в столбик

С десятичными дробями все четыре действия делают в столбик. Общая идея: считаем как с целыми, а про запятую вспоминаем отдельно.

• Сложение и вычитание: пишем числа друг под другом так, чтобы запятая была под запятой (пустые места, нули), дальше как с целыми. Пример: $12{,}7+3{,}45$: запишем $12{,}70+3{,}45$, сложим поразрядно: получим $16{,}15$.
• Умножение: умножаем, не глядя на запятые, а потом отделяем справа столько цифр, сколько знаков после запятой в обоих множителях вместе. Пример: $0{,}24\cdot1{,}5$: $24\cdot15=360$, знаков после запятой $2+1=3$, ответ $0{,}360=0{,}36$.
• Деление на целое число: делим в столбик, и когда доходим до запятой в делимом: ставим запятую в ответе и продолжаем. $4{,}56:8=0{,}57$.
• Деление на десятичную дробь: в делителе запятую убираем (умножаем на 10, 100…), и на столько же сдвигаем запятую в делимом: $4{,}56:0{,}8=45{,}6:8=5{,}7$.

Действия с отрицательными числами

Знак минус: просто указание «число лежит слева от нуля». Правила короткие, их надо выучить до автоматизма.

Сложение и вычитание:

• $a+(-b)=a-b$: плюс на минус даёт минус: $7+(-3)=7-3=4$;
• $a-(-b)=a+b$: минус на минус даёт плюс: $7-(-3)=7+3=10$;
• два отрицательных складываются «в минус»: $-5+(-3)=-8$.

Умножение и деление: работает простое правило: одинаковые знаки дают плюс, разные: минус.

$$\begin{aligned} &(+)\cdot(+)=(+)\\ &(-)\cdot(-)=(+)\\ &(+)\cdot(-)=(-)\\ &(-)\cdot(+)=(-) \end{aligned}$$

То же самое для деления. Примеры: $(-2)\cdot3=-6$; $\;(-2)\cdot(-3)=6$; $\;12:(-4)=-3$; $\;(-12):(-4)=3$.

С дробями всё так же: $\left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot\dfrac{9}{4}=-\dfrac{2\cdot9}{3\cdot4}=-\dfrac{3}{2}$: знак определяем отдельно, дроби считаем отдельно.

Периодические дроби

Если цифры десятичной дроби повторяются бесконечно, дробь называют периодической, а повторяющуюся группу: периодом: пишут в скобках: $0{,}333\ldots=0{,}(3)$.

Перевод чисто периодической дроби в обыкновенную: в верх: период, в низ: столько девяток, сколько цифр в периоде:

$$\begin{aligned} &0{,}(3)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\\ &0{,}(45)=\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11} \end{aligned}$$

Проценты

Процент: одна сотая часть: $1\%=\dfrac{1}{100}=0{,}01$. Все задачи на проценты: задачи на умножение:

• долю в проценты: умножить на 100: $0{,}23=23\%$;
• проценты в долю: разделить на 100: $7\%=0{,}07$;
• найти $p\%$ от числа $a$: умножить на $\dfrac{p}{100}$;
• увеличить на $p\%$: умножить на $1+\dfrac{p}{100}$;
• уменьшить на $p\%$: умножить на $1-\dfrac{p}{100}$.

Пример: $15\%$ от $240$: $240\cdot0{,}15=36$. После повышения цены на $20\%$ цена умножается на $1{,}2$.

Признаки делимости

Нужны, чтобы быстро сокращать дроби и видеть, делится ли число:

• на 2: если последняя цифра чётная;
• на 3: если сумма цифр делится на 3;
• на 5: если последняя цифра 0 или 5;
• на 9: если сумма цифр делится на 9;
• на 10: если последняя цифра 0.

Округление и прикидка

Округление: замена числа близким «круглым». Если отбрасываемая цифра 5 и больше: предыдущую увеличиваем на 1: $2{,}348\approx2{,}35$, а $2{,}344\approx2{,}34$.

Прикидка: грубый счёт с округлениями, чтобы понять порядок ответа: $19{,}8\cdot52\approx20\cdot50=1000$.

Оценка: записать, между какими числами лежит результат. Это пригодится, когда нужно проверить ответ или доказать, что число попадает в нужный промежуток.