2.2 Треугольник, основы и виды

Треугольник

Треугольник: фигура из трёх точек (вершин), соединённых отрезками (сторонами). У него три вершины, три стороны и три угла.

• Вершины обозначают большими буквами: $A$, $B$, $C$.
• Сторону называют либо по концам ($AB$), либо маленькой буквой по противоположной вершине: $a$: сторона напротив $A$ (то есть $BC$), $b$: напротив $B$, $c$: напротив $C$.
• Сторона, лежащая напротив угла, противолежащая этому углу, а сам угол: противолежащий этой стороне. Стороны, образующие угол, называют прилежащими к нему.
• Периметр: сумма всех сторон: $P = a + b + c$.

Виды треугольников

По сторонам:

• разносторонний: все стороны разные;
• равнобедренный: две стороны равны (их называют боковыми, третью, основанием);
• равносторонний: все три стороны равны (и все углы по $60^\circ$).

По углам:

• остроугольный: все три угла острые;
• прямоугольный: есть угол $90^\circ$ (две стороны при нём: катеты, сторона напротив прямого угла, гипотенуза);
• тупоугольный: есть тупой угол.

Сумма углов

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Отсюда полезные частные случаи: в прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают $90^\circ$; у равностороннего каждый угол равен $60^\circ$.

Внешний угол

Внешний угол $\varphi$: угол между стороной треугольника и продолжением соседней стороны. Про него два факта:

• внешний угол и соседний с ним внутренний ($\beta$) вместе дают прямую, поэтому $\varphi + \beta = 180^\circ$;
• внешний угол равен сумме двух других внутренних углов (тех, что не рядом с ним): $\varphi = \alpha + \gamma$.

Соотношение сторон и углов

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей: меньший (и наоборот). Равные стороны лежат напротив равных углов.

Неравенство треугольника

Каждая сторона меньше суммы двух других:

$$\begin{aligned} &a \lt b + c\\ &b \lt a + c\\ &c \lt a + b \end{aligned}$$

То же самое: каждая сторона больше разности двух других. Если хотя бы одно из условий нарушено: треугольника с такими сторонами не существует.

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны (полностью совпадают при наложении), если выполнено одно из условий:

1. две стороны и угол между ними одного равны двум сторонам и углу между ними другого;
2. сторона и два прилежащих к ней угла равны соответствующим элементам другого;
3. три стороны одного равны трём сторонам другого.

У равных треугольников равны и все остальные соответствующие стороны и углы.

Площадь

Площадь: величина, которая показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Обозначают буквой $S$.