2.1 Углы и прямые

Угол

Угол: два луча из одной точки. Точка $O$ : вершина, лучи: стороны. Обозначают буквой ( $\alpha$ ) или по трём точкам: $\angle AOB$ (средняя буква, всегда вершина). Измеряют в градусах.

Если провести луч из вершины внутри угла, он разобьёт угол на два, и их градусы складываются в целый угол.

Виды углов

Угол	Величина
острый	меньше $90^\circ$
прямой	ровно $90^\circ$
тупой	больше $90^\circ$ , но меньше $180^\circ$
развёрнутый	ровно $180^\circ$ (стороны лежат на одной прямой)

Прямой угол на чертеже отмечают специальной пометкой (как на рисунках этой заметки).

Биссектриса

Биссектриса: луч из вершины, который делит угол пополам. Каждая из двух половинок равна половине угла. Например, биссектриса угла $60^\circ$ даёт два угла по $30^\circ$ .

Углы при пересечении двух прямых

Когда две прямые пересекаются, получаются 4 угла: две пары.

Смежные углы (соседние, вместе составляют прямую линию) в сумме дают $180^\circ$ . Значит, зная один угол, второй находим вычитанием: $\beta = 180^\circ - \alpha$ .
Вертикальные углы (напротив друг друга) равны: $\alpha$ напротив $\alpha$ , $\beta$ напротив $\beta$ .

Полезно помнить

Все углы вокруг одной точки в сумме дают $360^\circ$ . Углы по одну сторону от прямой: $180^\circ$ .

Перпендикулярные прямые

Прямые перпендикулярны, если пересекаются под углом $90^\circ$ . Тогда и все четыре угла при пересечении равны $90^\circ$ . Пишут: $a \perp b$ . Через любую точку (хоть на прямой, хоть вне её) можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной.

Параллельные прямые

Две прямые на плоскости параллельны, если не пересекаются, сколько их ни продолжай. Пишут: $a \parallel b$ .

Что нужно знать про параллельные

через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной;
две прямые, параллельные одной и той же третьей, параллельны между собой;
если прямая пересекает одну из двух параллельных, то пересечёт и вторую;
расстояние между параллельными прямыми везде одинаково (его меряют по перпендикуляру).

Самое важное: углы, которые получаются, когда параллельные прямые $a$ и $b$ пересекает третья прямая $c$ (секущая). Таких углов 8:

Главное про эти углы

Все 8 углов принимают всего два значения: острый и тупой, и острый $+$ тупой $= 180^\circ$ . Поэтому любые два угла на рисунке либо равны, либо в сумме дают $180^\circ$ .

Эти пары различают по расположению (названия спрашивают в задачах):

соответственные: в одинаковых местах у обоих пересечений: равны (например, $\angle2=\angle6$ );
накрест лежащие: крест-накрест между прямыми: равны (например, $\angle2=\angle7$ );
односторонние: с одной стороны от секущей, между прямыми: в сумме $180^\circ$ (например, $\angle2+\angle8=180^\circ$ ).

Как доказать, что прямые параллельны

Всё работает и в обратную сторону. Если накрест лежащие углы равны, или соответственные равны, или односторонние в сумме дали $180^\circ$ : значит прямые параллельны. Так в задачах доказывают параллельность.